Tổng hai lập phương là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Nắm chắc công thức, cách nhận biết và phương pháp áp dụng sẽ giúp học sinh dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử và giải nhanh nhiều dạng bài tập. Trong bài viết này, hãy cùng tìm hiểu công thức tổng hai lập phương, các bước nhận dạng, ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.
Tổng hai lập phương là gì?
Tổng hai lập phương là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng trong chương trình Toán THCS, đặc biệt là Toán lớp 8. Đây là kiến thức nền tảng giúp học sinh thực hiện các phép biến đổi, rút gọn và phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng tổng hai lập phương thường có dạng $a^3+b^3$, trong đó $a$ và $b$ có thể là số hoặc các biểu thức đại số.
Để giải nhanh dạng bài này, học sinh cần nắm chắc công thức, biết cách nhận dạng hai lập phương và tránh nhầm lẫn với hiệu hai lập phương.
Công thức tổng hai lập phương
Công thức tổng hai lập phương là: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Trong đó:
- $a^3$ và $b^3$ là hai lập phương.
- $a+b$ là tổng của hai biểu thức.
- $a^2-ab+b^2$ là nhân tử thứ hai.
Có thể ghi nhớ công thức bằng cách đọc:
Tổng hai lập phương bằng tổng của hai biểu thức nhân với bình phương thứ nhất, trừ tích hai biểu thức, cộng bình phương thứ hai.
Một cách nhớ ngắn gọn hơn: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Ngoài cộng thì trong trừ.
Đây là mẹo giúp học sinh hạn chế nhầm dấu khi làm bài.
Vì sao công thức tổng hai lập phương đúng?
Để hiểu bản chất thay vì chỉ học thuộc, chúng ta có thể kiểm tra công thức bằng cách thực hiện phép nhân:
$(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Khai triển từng phần:
$=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$
$=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3$
Các hạng tử $-a^2b$ và $+a^2b$ triệt tiêu nhau. Tương tự, $+ab^2$ và $-ab^2$ cũng triệt tiêu.
Do đó: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
Vì vậy, ta có: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Việc hiểu cách chứng minh này sẽ giúp học sinh nhớ công thức lâu hơn và vận dụng chính xác hơn.
Cách nhận biết tổng hai lập phương
Khi gặp một biểu thức đại số, không phải lúc nào dạng tổng hai lập phương cũng xuất hiện ngay dưới dạng $a^3+b^3$. Vì vậy, bước đầu tiên là nhận dạng hai lập phương.
Có thể thực hiện theo 3 bước:
Bước 1: Xác định biểu thức có hai hạng tử
Ví dụ: $x^3+8$
Biểu thức trên có hai hạng tử là $x^3$ và $8$.
Bước 2: Kiểm tra từng hạng tử có phải lập phương không
Ta có: $x^3=x^3$ và: $8=2^3$
Do đó: $x^3+8=x^3+2^3$
Bước 3: Áp dụng công thức
Với $a=x$ và $b=2$, ta được: $x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$
Vậy: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$
Một số dạng tổng hai lập phương thường gặp
Dạng 1: Tổng hai số lập phương
Ví dụ: $8+27$
Ta có: $8=2^3$ và: $27=3^3$
Do đó: $8+27=2^3+3^3$
Áp dụng công thức: $2^3+3^3=(2+3)(2^2-2\cdot3+3^2)$ $=5(4-6+9)$ $=5\cdot7=35$
Vậy: $8+27=35$
Dạng 2: Tổng hai lập phương chứa biến
Xét: $x^3+27$
Vì: $27=3^3$ nên: $x^3+27=x^3+3^3$
Áp dụng công thức: $x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9)$
Vậy: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$
Dạng 3: Hệ số đứng trước biến
Xét: $8x^3+y^3$
Ta nhận thấy: $8x^3=(2x)^3$
Do đó: $8x^3+y^3=(2x)^3+y^3$
Áp dụng công thức với $a=2x$ và $b=y$: $(2x)^3+y^3=(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$
Vậy: $8x^3+y^3=(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$
Dạng 4: Hai lập phương của các biểu thức
Xét: $(x+1)^3+(x-1)^3$
Đặt: $a=x+1$ và: $b=x-1$
Khi đó: $(x+1)^3+(x-1)^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Ta có: $a+b=(x+1)+(x-1)=2x$
Sau khi thay vào công thức và rút gọn, ta được: $(x+1)^3+(x-1)^3=2x( x^2+3)$
Vậy: $(x+1)^3+(x-1)^3=2x(x^2+3)$
Phân biệt tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương
Đây là phần rất dễ gây nhầm lẫn khi làm bài.
Tổng hai lập phương
Công thức là: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Hiệu hai lập phương
Công thức là: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Có thể nhận thấy điểm khác biệt:
| Dạng | Công thức |
|---|---|
| Tổng hai lập phương | $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ |
| Hiệu hai lập phương | $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ |
Mẹo nhớ: Dấu ở ngoặc thứ nhất giống dấu của đề bài, còn dấu giữa ở ngoặc thứ hai thì ngược lại.
Ví dụ: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Trong khi: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Những sai lầm thường gặp khi áp dụng công thức
Nhầm dấu trong nhân tử thứ hai
Một lỗi phổ biến là viết:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$
Công thức trên không đúng.
Công thức chính xác là: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Với tổng hai lập phương, dấu giữa $a^2$ và $b^2$ là dấu trừ trước tích $ab$.
Không nhận ra một số là lập phương
Ví dụ, với: $x^3+64$
Nếu không nhận ra $64=4^3$, học sinh có thể bỏ qua phương pháp phân tích thành nhân tử.
Cần ghi nhớ một số lập phương cơ bản:
$1^3=1$
$2^3=8$
$3^3=27$
$4^3=64$
$5^3=125$
$6^3=216$
$7^3=343$
$8^3=512$
$9^3=729$
$10^3=1000$
Nhờ đó, việc nhận dạng tổng hai lập phương sẽ nhanh hơn.
Áp dụng sai giá trị của $a$ và $b$
Với: $8x^3+27$
Không nên lấy $a=8x$ và $b=27$.
Cần viết: $8x^3=(2x)^3$ và: $27=3^3$
Do đó: $8x^3+27=(2x)^3+3^3$
Từ đó mới áp dụng công thức với $a=2x$ và $b=3$.
Bài tập tổng hai lập phương có lời giải
Bài tập 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^3+8$
Lời giải:
Ta có: $8=2^3$
Do đó: $x^3+8=x^3+2^3$
Áp dụng công thức tổng hai lập phương: $x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$
Vậy: ${x^3} + 8 = (x + 2)({x^2} – 2x + 4)$
Bài tập 2
Phân tích thành nhân tử: $27x^3+8$
Ta có: $27x^3=(3x)^3$ và: $8=2^3$
Suy ra: $27x^3+8=(3x)^3+2^3$
Áp dụng công thức: $(3x)^3+2^3=(3x+2)(9x^2-6x+4)$
Vậy: $27{x^3} + 8 = (3x + 2)(9{x^2} – 6x + 4)$
Bài tập 3
Phân tích thành nhân tử: $64a^3+125b^3$
Ta có: $64a^3=(4a)^3$ và: $125b^3=(5b)^3$
Do đó: $64a^3+125b^3=(4a)^3+(5b)^3$
Áp dụng công thức: $(4a)^3+(5b)^3=(4a+5b)(16a^2-20ab+25b^2)$
Vậy: $64{a^3} + 125{b^3} = (4a + 5b)(16{a^2} – 20ab + 25{b^2})$
Bài tập tự luyện
Sau khi nắm được công thức tổng hai lập phương, hãy thử tự giải các bài sau:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử $x^3+27$.
Bài 2: Phân tích thành nhân tử $8x^3+125$.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử $27a^3+64b^3$.
Bài 4: Phân tích thành nhân tử $x^3+1$.
Bài 5: Tính nhanh $9^3+1^3$ bằng công thức tổng hai lập phương.
Đáp án
Bài 1: $x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)$
Bài 2: $8x^3+125=(2x+5)(4x^2-10x+25)$
Bài 3: $27a^3+64b^3=(3a+4b)(9a^2-12ab+16b^2)$
Bài 4: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
Bài 5: $9^3+1^3=(9+1)(9^2-9+1)=10\cdot73=730$
Cách học thuộc công thức tổng hai lập phương hiệu quả
Để ghi nhớ lâu, học sinh không nên chỉ học thuộc máy móc. Có thể áp dụng quy trình sau:
Bước 1: Nhớ dạng tổng: $a^3+b^3$
Bước 2: Nhớ nhân tử đầu tiên: $a+b$
Bước 3: Nhớ nhân tử thứ hai: $a^2-ab+b^2$
Bước 4: Luyện nhận dạng các số lập phương quen thuộc.
Bước 5: Làm bài từ cơ bản đến nâng cao để tránh nhầm dấu.
Một mẹo rất dễ nhớ là:
Tổng hai lập phương → tổng bên ngoài, dấu trừ bên trong.
Kết luận
Tổng hai lập phương là một hằng đẳng thức quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập Toán THCS. Công thức cốt lõi cần ghi nhớ là:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Khi gặp một biểu thức, hãy kiểm tra xem hai hạng tử có thể viết thành hai lập phương hay không. Sau đó xác định chính xác $a$ và $b$, áp dụng công thức và rút gọn kết quả.
Chỉ cần nắm chắc cách nhận dạng và quy tắc dấu, học sinh có thể giải nhanh nhiều bài toán phân tích đa thức thành nhân tử liên quan đến tổng hai lập phương.