Trong toán học, đặc biệt là đại số, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức cơ bản và quan trọng mà mọi học sinh đều phải ghi nhớ và sử dụng thành thạo. Bạn khó nhớ hoặc chưa biết cách vận dụng những hằng đẳng thức vào giải toán thì cùng 7hangdangthuc.net tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ này ngay bây giờ.
1. Lý thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Phần này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về các hằng đẳng thức đáng nhớ, cách sử dụng chúng, chứng minh từng hằng đẳng thức, đi kèm với nó là ví dụ minh họa cụ thể.
1.1 Bình phương của một tổng
Công thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này biểu diễn bình phương của tổng hai số \(a\) và \(b\) bằng tổng của ba thành phần:
- Bình phương số thứ nhất (\(a^2\)),
- Gấp đôi tích của hai số (\(2ab\)),
- Bình phương số thứ hai (\(b^2\)).
Chứng minh
Sử dụng định nghĩa bình phương: $ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) $
Khai triển:
(a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2 (điều phải chứng minh)
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \((3 + 4)^2\) mà không cần nhân trực tiếp.
$\begin{array}{l} {(3 + 4)^2} = {3^2} + 2 \cdot 3 \cdot 4 + {4^2}\\ = 9 + 24 + 16\\ = 49 \end{array}$
1.2 Bình phương của một hiệu
Công thức: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này tương tự như hằng đẳng thức thứ nhất, nhưng áp dụng cho hiệu của hai số. Thành phần thứ hai (\(-2ab\)) khác dấu so với tổng (\(+2ab\)).
Chứng minh
Sử dụng định nghĩa bình phương: $ (a – b)^2 = (a – b)(a – b) $
Khai triển:
(a – b).(a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \((5 – 2)^2\) mà không cần nhân trực tiếp.
$(5 – 2)^2 = 5^2 – 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 – 20 + 4 = 9$
1.3 Hiệu hai bình phương
Công thức: a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này biểu diễn hiệu của hai bình phương thành tích của tổng và hiệu của hai số.
Chứng minh
Sử dụng phép nhân hai biểu thức:
(a – b)(a + b) = a. a + a. b – b. a – b. b = a2 – b2
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \(7^2 – 3^2\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.
$7^2 – 3^2 = (7 – 3)(7 + 3) = 4 \cdot 10 = 40$
1.4 Lập phương của một tổng
Công thức: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này dùng để tính lập phương của tổng hai số, bao gồm bốn thành phần:
- Lập phương số thứ nhất (\(a^3\)),
- Ba lần tích của bình phương số thứ nhất và số thứ hai (\(3a^2b\)),
- Ba lần tích của số thứ nhất và bình phương số thứ hai (\(3ab^2\)),
- Lập phương số thứ hai (\(b^3\)).
Chứng minh
Sử dụng phép nhân: $ (a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b) $
Khai triển từng bước:
- Bước 1: (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
- Bước 2: (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \((2 + 1)^3\).
$\begin{array}{l} {(2 + 1)^3} = {2^3} + 3 \cdot {2^2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot {1^2} + {1^3}\\ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27 \end{array}$
1.5 Lập phương của một hiệu
Công thức: $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này tương tự như hằng đẳng thức thứ tư, nhưng áp dụng cho hiệu của hai số. Các số hạng có dấu xen kẽ.
Chứng minh
Sử dụng phép nhân: $ (a – b)^3 = (a – b)(a – b)(a – b) $
Khai triển từng bước:
- Bước 1: (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2
- Bước 2: (a2 – 2ab + b2)(a – b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \((3 – 1)^3\).
$\begin{array}{l} {(3 – 1)^3} = {3^3} – 3 \cdot {3^2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot {1^2} – {1^3}\\ = 27 – 27 + 9 – 1 = 8 \end{array}$
1.6 Tổng hai lập phương
Công thức: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này biểu diễn tổng của hai lập phương thành tích của tổng hai số và một tam thức.
Chứng minh
Sử dụng phép nhân:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a⋅a2 – a⋅ab + a⋅b2 + b⋅a2 – b⋅ab + b⋅b2 = a3 + b3
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \(2^3 + 1^3\).
$2^3 + 1^3 = (2 + 1)(2^2 – 2 \cdot 1 + 1^2) = 3(4 – 2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9$
1.7 Hiệu hai lập phương
Công thức: $ a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) $
Ý nghĩa
Hằng đẳng thức này biểu diễn hiệu của hai lập phương thành tích của hiệu hai số và một tam thức.
Chứng minh
Sử dụng phép nhân: (a – b)(a2 + ab + b2) = a.a2 + a.ab + a.b2 – b.a2 – b.ab – b.b2 = a3 – b3
Ví dụ minh họa
Tính giá trị của \(5^3 – 2^3\).
$\begin{array}{l} {5^3} – {2^3} = (5 – 2)({5^2} + 5 \cdot 2 + {2^2})\\ = 3(25 + 10 + 4)\\ = 3 \cdot 39\\ = 117 \end{array}$
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính nhanh
a) \(54.66\);
b) \({203^2}\).
Lời giải
a) 54.66 = (60 – 6).(60 + 6) = 602 – 62 = 3600 – 36 = 3564
b) ${203^2} = {\left( {200 + 3} \right)^2}$ $ = {200^2} + 2.200.3 + {3^2}$ = 40000 + 1200 + 9 = 41209
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {x – 3y} \right)^2} – {\left( {x + 3y} \right)^2}\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x – 3y} \right)^2}\)
Lời giải
a) \({\left( {x – 3y} \right)^2} – {\left( {x + 3y} \right)^2} \)
\(= \left( {x – 3y + x + 3y} \right).\left( {x – 3y – x – 3y} \right) \\= \left( {2x} \right).\left( { – 6y} \right) = – 12xy\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x – 3y} \right)^2} \)
\(\begin{array}{l}= {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} + {\left( {4x} \right)^2} – 2.4x.3y + {\left( {3y} \right)^2}\\ = 9{x^2} + 24xy + 16{y^2} + 16{x^2} – 24xy + 9{y^2}\\ = \left( {9{x^2} + 16{x^2}} \right) + \left( {24xy – 24xy} \right) + \left( {16{y^2} + 9{y^2}} \right)\\ = 25{x^2} + 25{y^2}\end{array}\)
Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
\({\left( {n + 2} \right)^2} – {n^2}\) chia hết cho 4.
Lời giải
Ta có: ${\left( {n + 2} \right)^2} – {n^2}$
= (n + 2 – n).(n + 2 + n)
= 2.(2n + 2) = 2.2.(n + 1)
= 4.(n + 1)
Vì \(4 \vdots 4\) nên \(4\left( {n + 1} \right) \vdots 4\) với mọi số tự nhiên n.
Bài tập 4: Khai triển:
a) \({\left( {{x^2} + 2y} \right)^3}\);
b) \({\left( {\frac{1}{2}x – 1} \right)^3}\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển
a) \({\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}\)
b) \({\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 – 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} – {{b}^3}\)
Lời giải
a)
$\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\left( {{x^2} + 2y} \right)^3}\\ = {\left( {{x^2}} \right)^3} + 3.{\left( {{x^2}} \right)^2}.2y + 3.{x^2}.{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} \end{array}\\ { = {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3}} \end{array}$
b)
$\begin{array}{l} {\left( {\frac{1}{2}x – 1} \right)^3}\\ = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} – 3.{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2}.1 + 3.\frac{1}{2}x{.1^2} – {1^3}\\ = \frac{1}{8}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x – 1 \end{array}$
Bài tập 5: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
a) \(27 + 54x + 36{x^2} + 8{x^3}\).
b) \(64{x^3} – 144{x^2}y + 108x{y^2} – 27{y^3}\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm ra dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu của các biểu thức đó.
a. \( {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3} = {\left( {a+b} \right)^3} \)
b. \({ {a}^3 – 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} – {{b}^3} = \left( {a-b} \right)^3} \)
Lời giải
a) \(27 + 54x + 36{x^2} + 8{x^3} \) \(= {3^3} + {3.3^2}.2x + 3.3.{\left( {2x} \right)^2} + {\left( {2x} \right)^3} \) \(= {\left( {3 + 2x} \right)^3}\)
b) \(64{x^3} – 144{x^2}y + 108x{y^2} – 27{y^3} \) \(= {\left( {4x} \right)^3} – 3.{\left( {4x} \right)^2}.3y + 3.4x.{\left( {3y} \right)^2} – {\left( {3y} \right)^3} \) \(= {\left( {4x – 3y} \right)^3}\)
Bài tập 6: Tính nhanh giá trị của biểu thức:
a) \({x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\) tại x=7.
b) \(27 – 54x + 36{x^2} – 8{x^3}\) tại x=6,5.
Lời giải
a) ${x^3} + 9{x^2} + 27x + 27$ $ = {x^3} + 3.{x^2}.3 + 3.x{.3^2} + {3^3}$ $ = {\left( {x + 3} \right)^3}$
Thay x = 7 vào biểu thức ta được: \({\left( {7 + 3} \right)^3} = {10^3} = 1000\).
b)
$\begin{array}{l} 27 – 54x + 36{x^2} – 8{x^3}\\ = {3^3} – {3.3^2}.2x + 3.3.{\left( {2x} \right)^2} – {\left( {2x} \right)^3}\\ = {\left( {3 – 2x} \right)^3} \end{array}$
Thay x=6,5 vào biểu thức ta được: \({\left( {3 – 2.6,5} \right)^3} = {\left( { – 10} \right)^3} = – 1000\).
Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {x – 2y} \right)^3} + {\left( {x + 2y} \right)^3}\)
b) \({\left( {3x + 2y} \right)^3} + {\left( {3x – 2y} \right)^3}\)
Lời giải
a) (x – 2y)3 + (x + 2y)3
= x3 – 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 – (2y)3 + x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3
= 2x3 + 24xy2
b) (3x + 2y)3 + (3x – 2y)3
= (3x)3 + 3.(3x)2.2y + 3.3x(2y)2 + (2y)3 + (3x)3 – 3.(3x)2.2y + 3.3x(2y)2 – (2y)3
= 54x3 + 72xy2
Bài tập 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:
a) \(\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} – 4x + 16} \right)\);
b) \(\left( {4{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\left( {2x – y} \right)\)
Lời giải
a) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 + 43 = x3 + 64
b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y) = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3
Bài tập 9: Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) \({x^3} + 512 = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} – ? + 64} \right)\);
b) \(27{x^3} – 8{y^3} = \left( {? – 2y} \right)\left( {? + 6xy + 4{y^2}} \right)\).
Lời giải
a) \({x^3} + 512 = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} – 8x + 64} \right)\)
b) \(27{x^3} – 8{y^3} = \left( {3x – 2y} \right)\left( {9{x^2} + 6xy + 4{y^2}} \right)\)
Bài tập 10: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) \(27{x^3} + {y^3}\);
b) \({x^3} – 8{y^3}\).
Lời giải
a) 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2);
b) x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
Tóm lại: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ không chỉ là những công cụ quan trọng trong toán học mà còn là nền tảng để phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Việc học thuộc và nắm vững cách sử dụng chúng giúp bạn không chỉ đạt kết quả tốt trong học tập mà còn ứng dụng hiệu quả vào các lĩnh vực khác trong cuộc sống. Hãy thực hành thường xuyên, sử dụng các ví dụ minh họa để hiểu sâu hơn và biến những công thức này thành người bạn đồng hành trong hành trình chinh phục toán học của bạn!