Lập phương của một hiệu là một trong những hằng đẳng thức đáng nhớ quan trọng trong chương trình Toán, đặc biệt thường được sử dụng khi khai triển và rút gọn các biểu thức đại số. Nếu không nắm chắc quy tắc dấu, học sinh rất dễ nhầm lẫn khi áp dụng công thức. Vậy lập phương của một hiệu là gì, công thức được viết như thế nào và chứng minh ra sao? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu công thức lập phương của một hiệu, cách chứng minh chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải, qua đó giúp bạn hiểu bản chất và vận dụng hằng đẳng thức này một cách chính xác, nhanh chóng.
Lập phương của một hiệu là gì?
Lập phương của một hiệu là hằng đẳng thức thứ năm trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ của chương trình Toán lớp 8. Đây là công thức giúp khai triển nhanh các biểu thức có dạng (a – b)³, thay vì thực hiện phép nhân ba lần.
Hằng đẳng thức này thường xuất hiện trong các bài toán khai triển biểu thức, rút gọn, tính nhanh và là nền tảng để học các chuyên đề đại số nâng cao.
Công thức lập phương của một hiệu
Cho hai số hoặc hai biểu thức a và b, ta có:
Đây là hằng đẳng thức thứ năm trong nhóm 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ý nghĩa của công thức
Khi khai triển (a – b)³, ta thu được bốn hạng tử:
- Lập phương của biểu thức thứ nhất: a³
- Trừ ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai: -3a²b
- Cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai: +3ab²
- Trừ lập phương của biểu thức thứ hai: -b³
Điểm đặc biệt là dấu của các hạng tử xen kẽ: cộng – trừ – cộng – trừ.
Chứng minh công thức
Ta có: (a – b)³ = (a – b)(a – b)²
Theo hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Suy ra: (a – b)³ = (a – b)(a² – 2ab + b²)
Thực hiện phép nhân: = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³
Gộp các hạng tử đồng dạng: = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Vậy: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Cách ghi nhớ nhanh
Bạn có thể ghi nhớ công thức theo quy tắc:
Lập đầu – Trừ ba bình đầu – Cộng ba bình cuối – Trừ lập cuối.
Hoặc nhớ bằng quy luật dấu: + − + −
So sánh:
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Khi thay dấu + bằng − trong ngoặc, dấu của các hạng tử sẽ thay đổi theo quy luật trên.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Khai triển: (x – 2)³
Áp dụng công thức:
= x³ – 3x²·2 + 3x·2² – 2³
= x³ – 6x² + 12x – 8
Ví dụ 2. Khai triển: (3a – 1)³
Ta có: = 27a³ – 27a² + 9a – 1
Ví dụ 3. Khai triển: (2x – y)³
Ta được:
= 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³
Ví dụ 4. Tính nhanh: 99³
Viết: 99 = 100 – 1
Áp dụng công thức: (100 – 1)³
= 100³ – 3·100²·1 + 3·100·1² – 1³
= 1.000.000 – 30.000 + 300 – 1
= 970.299
Khi nào nên áp dụng công thức?
Bạn nên áp dụng công thức khi biểu thức có dạng:
- (x – a)³
- (5m – n)³
- (2a – 3b)³
- (A – B)³
Nếu biểu thức không phải là lập phương của một hiệu thì cần sử dụng phương pháp khác.
So sánh với lập phương của một tổng
| Lập phương của một tổng | Lập phương của một hiệu |
|---|---|
| (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ |
| Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng | Dấu các hạng tử xen kẽ: + − + − |
Đây là điểm học sinh cần đặc biệt chú ý để tránh nhầm lẫn.
Những lỗi thường gặp
Viết sai dấu
Sai: (a – b)³ = a³ – 3a²b – 3ab² – b³
Đúng: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Quên hệ số 3
Sai: (a – b)³ = a³ – a²b + ab² – b³
Đúng: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Lập phương sai
Ví dụ: (2x)³
Không phải: 6x³
Mà là: 8x³
Bình phương sai trong hạng tử giữa
Ví dụ: 3(2x)²y
Nhiều học sinh viết: 12xy
Đúng phải là: 12x²y
Bài tập vận dụng
Bài 1. Khai triển: (x – 4)³
Đáp án
x³ – 12x² + 48x – 64
Bài 2. Khai triển: (2a – 5)³
Đáp án
8a³ – 60a² + 150a – 125
Bài 3. Khai triển: (3m – n)³
Đáp án
27m³ – 27m²n + 9mn² – n³
Bài 4. Khai triển: (a – 2b)³
Đáp án
a³ – 6a²b + 12ab² – 8b³
Bài 5. Tính nhanh: 999³
Gợi ý
Viết: 999 = 1000 – 1
Sau đó áp dụng công thức lập phương của một hiệu.
Đáp án
997.002.999
Ứng dụng của lập phương một hiệu
Hằng đẳng thức này được ứng dụng để:
- Khai triển biểu thức.
- Rút gọn biểu thức đại số.
- Tính nhanh giá trị của các số gần số tròn.
- Chứng minh đẳng thức.
- Giải một số bài toán đại số và hình học.
Đây cũng là kiến thức nền tảng cho các chuyên đề nâng cao ở cấp THPT.
Mẹo học thuộc nhanh
Để ghi nhớ công thức hiệu quả, bạn có thể:
- So sánh trực tiếp với lập phương của một tổng.
- Ghi nhớ quy luật dấu + − + −.
- Luyện khai triển nhiều ví dụ.
- Sử dụng sơ đồ tư duy hoặc flashcard.
- Tự tạo bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức để ôn tập.
Câu hỏi thường gặp (FAQ)
Lập phương của một hiệu có bao nhiêu hạng tử?
Sau khi khai triển sẽ có 4 hạng tử.
Vì sao hai hạng tử giữa có dấu khác nhau?
Khi thực hiện phép nhân và thu gọn các hạng tử đồng dạng, dấu của từng hạng tử được xác định theo quy tắc nhân các số âm và số dương. Vì vậy kết quả cuối cùng có quy luật + − + −.
Có thể áp dụng công thức cho đa thức không?
Có. Nếu biểu thức có dạng: (A – B)³
thì công thức vẫn áp dụng, dù A và B là số, đơn thức hay đa thức.
Kết luận
Lập phương của một hiệu là hằng đẳng thức quan trọng giúp học sinh khai triển nhanh các biểu thức có dạng (a – b)³. Chỉ cần ghi nhớ chính xác công thức:
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ xử lý tốt các dạng toán khai triển, tính nhanh và rút gọn biểu thức.
Sau khi học xong bài này, bạn nên tiếp tục tìm hiểu Tổng hai lập phương và Hiệu hai lập phương để hoàn thiện toàn bộ chuyên đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.