Trong toán học, phép chia là một trong bốn phép tính cơ bản và quen thuộc nhất mà chúng ta được học từ sớm. Tuy nhiên, không phải lúc nào phép chia cũng cho kết quả là số nguyên hoàn chỉnh. Đó là lúc chúng ta cần đến khái niệm phép chia có dư, một chủ đề quan trọng và thường gặp trong chương trình học, đặc biệt ở các lớp tiểu học và trung học.
Hiểu rõ cách tìm số dư trong phép chia có dư không chỉ giúp bạn giải các bài toán chính xác mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng tính toán nhanh và chính xác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết cơ bản về phép chia có dư, cách tính số dư một cách dễ hiểu, kèm theo các bài tập vận dụng từ dễ đến khó để bạn có thể nắm vững kiến thức này một cách toàn diện.
1. Phương pháp tìm số dư trong phép chia có dư
Tìm cách giải: Với hai số nguyên a và m, m > 0 luôn có duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho $a=mq+r,\,0\le r<m.$
Để tìm số dư r trong phép chia a cho m ta cần tìm r sao cho $\left\{ \begin{align} & a\equiv r\,(\bmod \,m) \\ & 0\le r
2. Bài tập
Bài tập 1:
a) Tìm số dư trong phép chia ${{1532}^{5}}-1$ cho 9.
b) Tìm số dư trong phép chia ${{2016}^{2018}}+2$ cho 5.
Lời giải
a) Ta có $1532=9.170+2\equiv 2\,(\bmod \,9)$ do đó ${{1532}^{5}}\equiv {{2}^{5}}\,(\bmod \,9)$
$\Rightarrow {{1532}^{5}}-1\equiv {{2}^{5}}-1\,(\bmod \,9).$ Vì ${{2}^{5}}-1=31\equiv 4\,(\bmod \,9)$
Do đó ${{1532}^{5}}-1\equiv 4\,(\bmod \,9)$. Vậy số dư cần tìm là 4.
b) Ta có $2016\equiv 1\,(\bmod \,5)$ do đó ${{2016}^{2018}}\equiv {{1}^{2018}}\,(mod\,5)$
$\Rightarrow {{2016}^{2018}}+2\equiv {{1}^{2018}}\,+2(\bmod \,\,5)$. Vì $1+2=3\equiv 3\,\,(\bmod \,5).$
Do đó ${{2016}^{2018}}+2\equiv 3\,(\bmod \,5).$ Vậy số dư cần tìm là 3.
Bài tập 2:
Chứng minh ${{\left( {{2013}^{2016}}+{{2014}^{2016}}-{{2015}^{2016}} \right)}^{10}}\vdots 106$
Lời giải
Ta phải tìm số tự nhiên r sao cho
$0=r\equiv {{({{2013}^{2016}}+{{2014}^{2016}}-{{2015}^{2016}})}^{10}}\,\,(\bmod \,106)$
Ta có $2013=106.19-1\Rightarrow 2013\equiv -1\,(\bmod \,106)\Rightarrow {{2013}^{2016}}\equiv 1\,(\bmod \,106)$
$2014=106.19\text{ }\Rightarrow 2014\equiv 0\,(\bmod \,106)\Rightarrow {{2014}^{2016}}\equiv 0\,(\bmod \,106)$
$2015=106.19+1\Rightarrow 2015\equiv 1\,(\bmod \,106)\Rightarrow {{2015}^{2016}}\equiv 1\,(\bmod \,106)$
Do đó ${{\left( {{2013}^{2016}}+{{2014}^{2016}}-{{2015}^{2016}} \right)}^{10}}\equiv 0\,(\bmod \,106)$
Bài tập 3:
a) Hãy tìm chữ số tận cùng của ${{9}^{{{9}^{10}}}}$
b) Hãy tìm hai chữ số tận cùng của ${{3}^{1000}}.$
Lời giải
a) Tìm chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 10.
Vì ${{9}^{2n+1}}={{9.81}^{n}}\equiv 9\,(\bmod \,\,10).$
Do ${{9}^{10}}$ là số nên số ${{9}^{{{9}^{10}}}}$có chữ số tận cùng là 9.
b) Tìm hai chữ số tận cùng của một số là tìm dư trong phép chia số đó cho 100.
Ta có ${{3}^{4}}\equiv 81\equiv -19\,(\bmod \,100)\Rightarrow {{3}^{8}}\equiv {{(-19)}^{2}}(\bmod \,\,100)$
Mà ${{(-19)}^{2}}=361\equiv 61\,(\bmod \,100)$ Vậy ${{3}^{8}}\equiv 61\,(\bmod \,100)$
${{3}^{10}}\equiv 61.9=549\equiv 49\,(\bmod \,100)$
${{3}^{20}}\equiv {{49}^{2}}\equiv 01\,(\bmod \,100)$ (do ${{49}^{2}}=2401=24.100+1)$
Do đó ${{3}^{1000}}\equiv 01\,(\bmod \,100)$ nghĩa là hai chữ số sau cùng của ${{3}^{1000}}$ là 01.
Bài tập 4:
Tìm số dư trong phép chia
a) $8!-1$ cho 11.
b) ${{2014}^{2015}}+{{2016}^{2015}}+2018$ cho 5.
c) ${{2}^{50}}+{{41}^{65}}$ cho 7.
d) ${{1}^{5}}+{{3}^{5}}+{{5}^{5}}+…+{{97}^{5}}+{{99}^{5}}$ cho 4.
Lời giải
Với những bài toán dạng này, phương pháp chung là tính toán để đi đến $a\equiv b(\bmod \,m)$ với b là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất có thể được (tốt nhất là $b=\pm 1)$ từ đó tính được thuận lợi ${{a}^{n}}\equiv {{b}^{n}}(\bmod \,m)$
a) $8!=1.2.3.4.5.6.7.8$
Ta có $3.4=12\equiv 1(\bmod \,11);\,\,2.6=12\equiv 1(mod\,\,11);\,\,7.8\equiv 1\,(\bmod \,11)$
Vậy $8!\equiv 5(mod\,\,11)\Rightarrow 8!-1\equiv 4(mod\,\,11)$
Số dư trong phép chia $8!-1$ cho 11 là 4.
b) $2014\equiv -1(\bmod \,5)\Rightarrow {{2014}^{2015}}\equiv -1(\bmod \,5)$
$2016\equiv 1(\bmod \,5)\Rightarrow {{2016}^{2015}}\equiv 1(\bmod \,5);\,\,\,2018\equiv 3(mod\,5)$
${{2014}^{2015}}+{{2016}^{2015}}+2018\equiv 3(\bmod \,5)$
c) ${{2}^{3}}\equiv 1(\bmod \,7)\Rightarrow {{2}^{50}}={{({{2}^{3}})}^{16}}.4\equiv 4(\bmod \,7)$
$41\equiv -1(\bmod \,7)\Rightarrow {{41}^{65}}\equiv {{(-1)}^{65}}\equiv -1(\bmod \,7)$
${{2}^{50}}+{{41}^{65}}\equiv 4-1\equiv 3(\bmod \,7)$
d) ${{1}^{5}}\equiv 1(\bmod \,4);\,\,{{3}^{5}}\equiv -1(\bmod 4);\,\,\,{{5}^{5}}\equiv 1(\bmod \,4);…;\,{{97}^{5}}\equiv 1(\bmod \,4);\,{{99}^{5}}\equiv -1(\bmod \,4).$ Đáp số : Dư 0.
Bài tập 5: Tìm số dư trong phép chia:
a) ${{1532}^{5}}-4$ cho 9.
b) ${{2}^{2000}}$ cho 25.
c) ${{2014}^{{{2015}^{2016}}}}$ cho 13.
Lời giải
a) $1532\equiv 2(\bmod \,9)\Rightarrow {{1532}^{5}}\equiv {{2}^{5}}\equiv 5(mod\,9)$
$\Rightarrow {{1532}^{5}}-4\equiv 1(\bmod \,9)$
b) ${{2}^{5}}=32\equiv 7(\bmod 25)\Rightarrow {{2}^{10}}={{({{2}^{5}})}^{2}}\equiv {{7}^{2}}\equiv -1(\bmod \,25)$
${{2}^{2000}}={{({{2}^{10}})}^{200}}\equiv {{(-1)}^{200}}\equiv 1(\bmod \,25)$
c) $2014=155.13-1$ nên $2014\equiv -1(\bmod \,13);\,\text{ }{{2015}^{2016}}=2k+1(k\in N)$
$\Rightarrow {{2014}^{{{2015}^{2016}}}}\equiv {{(-1)}^{2k+1}}\equiv -1(\bmod \,13).$Đáp số : dư 12
Bài tập 6: Tìm số dư trong phép chia:
a) $A={{35}^{2}}-{{35}^{3}}+{{35}^{4}}-{{35}^{8}}+{{35}^{16}}+{{35}^{32}}$ cho 425.
b) $B={{10}^{10}}+{{10}^{{{10}^{2}}}}+{{10}^{{{10}^{3}}}}+…+{{10}^{{{10}^{100}}}}$ cho 7.
Lời giải
a) Ta có ${{35}^{2}}=1225=425.3-50\equiv -50(mod\,425)$
$\begin{align} & {{35}^{3}}={{35}^{2}}.35\equiv -50.35\equiv -1750\equiv -50(\bmod \,425) \\ & {{35}^{4}}={{({{35}^{2}})}^{2}}\equiv {{(-50)}^{2}}\equiv 2500\equiv -50(\bmod \,425) \\ \end{align}$
Tương tự với ${{35}^{8}};{{35}^{16}};{{35}^{32}}.$ Từ đó có $A\equiv -100(\bmod \,425)$
Hay số dư trong phép chia A cho 425 là 325
b) Ta có ${{10}^{5}}=7.14285+5\equiv 5(\bmod \,7);\,\,{{10}^{6}}=5.10\equiv 1(\bmod \,7)$
${{10}^{n}}-4=\underbrace{\overline{99…96}}_{n-1\text{ s }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ 9}}\equiv 0(\bmod \,2)$ và $\underbrace{\overline{99…96}}_{n-1\text{s }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ 9}}\equiv 0(\bmod \,3)\Rightarrow {{10}^{n}}-4\equiv 0(\bmod \,6)$
$\Rightarrow {{10}^{n}}\equiv 4(\bmod \,6)$ và ${{10}^{n}}=6k+4(k,n\in {{N}^{*}})$
Do đó ${{10}^{{{10}^{n}}}}={{10}^{6k+4}}={{({{10}^{6}})}^{k}}{{.10}^{4}}\equiv {{10}^{4}}(mod\,7)$
Vậy $B\equiv {{10}^{4}}+{{10}^{4}}+{{10}^{4}}+…+{{10}^{4}}\equiv {{10.10}^{4}}\equiv {{10}^{5}}\equiv 5(\bmod \,7)$
Bài tập 7:
a) Tìm chữ số tận cùng của ${{4}^{{{3}^{2}}}}$
b) Tìm hai chữ số tận cùng của ${{3}^{999}}$
c) Tìm ba chữ số tận cùng của số ${{2}^{512}}$
Lời giải
a) Ta tìm dư trong phép chia số đó cho10.
Vì ${{4}^{2}}\equiv 6(\bmod \,10)$ nên ${{4}^{{{3}^{2}}}}={{4}^{9}}={{({{4}^{2}})}^{4}}.4\equiv 6.4\equiv 4(\bmod \,10)\Rightarrow $ chữ số tận cùng là 4
b) Ta tìm dư trong phép chia số đó cho 100. Theo ví dụ 3 chuyên đề 26 ta đã có ${{3}^{1000}}\equiv 01(\bmod \,100)$ nghĩa là hai chữ số sau cùng của ${{3}^{1000}}$ là 01. Số${{3}^{1000}}$ là bội số của 3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải có số dư là 2 để chia tiếp thì 201 chia hết cho 3 (nếu số dư là 0 hay 1 thì 001; 101 đều không chia hết cho 3). Vậy số ${{3}^{999}}={{3}^{1000}}:3$ có hai chữ số tận cùng bằng 201 : 3 =67.
c) Ta tìm dư trong phép chia đó cho 1000. Do 1000 = 125.8 trước hết ta tìm số dư của ${{2}^{512}}$ cho 125. Từ hằng đẳng thức:
${{\left( a+b \right)}^{5}}={{a}^{5}}+5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}+10{{a}^{2}}{{b}^{3}}+5a{{b}^{4}}+{{b}^{5}}$ ta có nhận xét nếu $a\vdots 25$ thì ${{\left( a+b \right)}^{5}}\equiv {{b}^{5}}(\bmod 1\,25)$
Vì ${{2}^{10}}=1024\equiv -1(\bmod \,25)$ nên ${{2}^{10}}=25k-1(k\in N).$
Từ nhận xét trên ta có ${{2}^{50}}={{({{2}^{10}})}^{5}}={{(25k-1)}^{5}}\equiv -1(\bmod \,125)$
Vì vậy ${{2}^{512}}={{({{2}^{50}})}^{10}}{{.2}^{12}}\equiv {{(-1)}^{10}}{{.2}^{12}}\equiv {{2}^{12}}(\bmod \,125)$
Do ${{2}^{12}}={{2}^{10}}{{.2}^{2}}=1024.4\equiv 24.4\equiv 96(\bmod \,125)$
Vậy ${{2}^{512}}\equiv 96(\bmod \,125)$
Hay ${{2}^{512}}=125m+96,\,\,m\in N$
Do ${{2}^{512}}\vdots 8,\,96\vdots 8$ nên $m\vdots 8\Rightarrow m=8n\,(n\in N)$
${{2}^{512}}=125.8n+96=1000n+96.$ Vậy ba chữ số tận cùng của số ${{2}^{512}}$ là 096.