Phép nhân các đa thức là nền tảng quan trọng trong đại số, đặc biệt với học sinh trung học. Đây là quá trình nhân hai hoặc nhiều đa thức, sử dụng quy tắc phân phối và thu gọn hạng tử đồng dạng để tạo đa thức mới. Hiểu rõ cách thực hiện phép nhân các đa thức giúp giải quyết bài toán từ cơ bản đến phức tạp. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp nhân các đa thức, kèm ví dụ thực tế và bí quyết học hiệu quả, hỗ trợ bạn tối ưu hóa kỹ năng toán học.
1. Lý thuyết phép nhân đa thức
2. Bài tập
Bài tập 1: Tìm x, biết:
a) $4x\left( {x – 5} \right) – \left( {x – 1} \right)\left( {4x – 3} \right) = 23$
b) $\left( {x – 5} \right)\left( {x – 4} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 7$
Lời giải
Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức .Vì vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.
Trình bày lời giải
a) $4x\left( {x – 5} \right) – \left( {x – 1} \right)\left( {4x – 3} \right) = 23$
$4{{x}^{2}}-20x-4{{x}^{2}}+3x+4x-3=23$
$-13x-3=23$
$-13x=23+3$
$x=-2$
b) $\left( {x – 5} \right)\left( {x – 4} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 7$
${{x}^{2}}-4x-5x+20-{{x}^{2}}+2x-x+2=7$
$-8x+22=7$
$-8x=-15$
$x=\frac{15}{8}$
Bài tập 2: Tính nhanh
a) $A = 4\frac{7}{{5741}}.\frac{1}{{3759}} – \frac{4}{{3741}}.1.\frac{2}{{5741}} + \frac{1}{{3759}} + \frac{1}{{3759.5741}}$
b) $B = 2\frac{1}{{3150}}.\frac{3}{{6547}} – \frac{1}{{1050}}3\frac{{6516}}{{6517}} + \frac{4}{{1050}} – \frac{6}{{3150.6517}}$
Lời giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số
Trình bày lời giải
a) Đặt $x=\frac{1}{5741};y=\frac{1}{3749}$ khi đó biểu thức có dạng:
$A=\left( 4+7x \right)y-4y\left( 1+2x \right)+y+xy$
$A=4y+7xy-4y-8xy+y+xy$
$A=y$
$\Rightarrow A=\frac{1}{3759}$
b) Đặt $x=\frac{1}{3150};y=\frac{1}{6517}$ khi đó biểu thức có dạng:
$B=\left( 2+x \right)3y-3x\left( 4-y \right)+12x-6xy$
$B=6y+3xy-12x+2xy+12x-6xy$
$B=6y$
$\Rightarrow B=6.\frac{1}{6517}=\frac{6}{6517}$
Bài tập 3: Tìm x, biết:
a) $5\left( {x – 3} \right)\left( {x – 7} \right) – \left( {5x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 25$
b) $3\left( {x – 7} \right)\left( {x + 5} \right) – \left( {x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right) = – 13$
Lời giải
a) $5{x^2} – 35x – 15x + 105 – 5{x^2} + 10x – x + 2 = 25$
$-41x+107=25$
$-41x=-82$
$x=2$
b) $3{x^2} + 15x – 21x – 105 – 3{x^2} + 3x + 2 = – 13$
$-5x-103=-13$
$-5x=90$
$x=-18$
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = \left( {4x – 1} \right)\left( {3x + 1} \right) – 5x\left( {x – 3} \right) – \left( {x – 4} \right)\left( {x – 3} \right)$
b) $B = \left( {5x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) – 3x\left( {{x^2} – x – 3} \right) – 2x\left( {x – 5} \right)\left( {x – 4} \right)$
Lời giải
a) Ta có:
$A=12{{x}^{2}}+4x-3x-1-5{{x}^{2}}+15x-{{x}^{2}}+3x+4x-12$
$=6{{x}^{2}}+23x-13$
b) Ta có:
$B=\left( 5x-2 \right)\left( x+1 \right)-3x\left( {{x}^{2}}-x-3 \right)-2x\left( x-5 \right)\left( x-4 \right)$
$=5{{x}^{2}}+5x-2x-2-3{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x-2x\left( {{x}^{2}}-5x-4x+20 \right)$
$=-3{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+12x-2-2{{x}^{3}}+18{{x}^{2}}-40x$
$=-5{{x}^{3}}+26{{x}^{2}}-28x-2$
Bài tập 5: Tìm giá trị biểu thức sau:
a) $A = \left( {5x – 7} \right)\left( {2x + 3} \right) – \left( {7x + 2} \right)$ tại $x=\frac{1}{2}$
b) $B = \left( {x – 2} \right)\left( {y – 2x} \right) + \left( {x + 2y} \right)\left( {y + 2x} \right)$ tại $x=2;y=-2$
Lời giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối cùng mới thay số.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
$A=\left( 5x-7 \right)\left( 2x+3 \right)-\left( 7x+2 \right)\left( x-4 \right)$
$=\left( 10{{x}^{2}}+15x-14x-21 \right)-\left( 7{{x}^{2}}-28x+2x-8 \right)$
$=10{{x}^{2}}+15x-14x-21-7{{x}^{2}}+28x-2x+8$
$=3{{x}^{2}}+27x-13$
Thay $x=\frac{1}{2}$ vào biểu thức, ta có: $A=3.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+27.\frac{1}{2}-13=\frac{5}{4}$
Vậy với $x=\frac{1}{2}$ thì giá trị biểu thức $A=\frac{5}{4}$
b) Ta có:
$B=\left( x-2y \right)\left( y-2x \right)+\left( x+2y \right)\left( y+2x \right)$
$=xy-2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}+4xy+xy+2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4xy$
$=10xy$
Thay $x=2;y=-2$ vào biểu thức ta có: $B=10.2.\left( -2 \right)=-40$
Vậy với $x=2;y=-2$ thì giá trị biểu thức $B=-40$
Bài tập 6: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a) $A = \left( {4 – 5x} \right)\left( {3x – 2} \right) + \left( {3 – 2x} \right)\left( {x – 2} \right)$ tại $x=-2$
b) $B = 5x\left( {x – 4y} \right) – 4y\left( {y – 5x} \right)$ tại $x=-\frac{1}{5};y=-\frac{1}{2}$
Lời giải
a) Ta có :
$A=12x-8-15{{x}^{2}}+10x+3x-6-2{{x}^{2}}+4x$
$=-17{{x}^{2}}+29x-14$
Với $x=-2$, thay vào biểu thức ta có :
$A=-17{{\left( -2 \right)}^{2}}+29\left( -2 \right)-14$
$=-68-58-14$
$=-140$
b) Ta có :
$B=5x\left( x-4y \right)-4y\left( y-5x \right)$
$=5{{x}^{2}}-20xy-4{{y}^{2}}+20xy$
$=5{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}$
Thay $x=-\frac{1}{5};y=-\frac{1}{2}$ vào biểu thức ta có ;
$B=5{{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{2}}+4.{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}=5.\frac{1}{25}+4.\frac{1}{4}=\frac{6}{5}$
Bài tập 7: Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
a) $\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x – 3} \right)$
b) $\left( {{x^2} – 3x + 1} \right)\left( {2 – 4x} \right)$
c) $\left( {{x^2} + 3x – 2} \right)\left( {3 + x – 2x} \right)$
Lời giải
$a)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( x-3 \right)$
$={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3{{x}^{2}}-3x-3={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x-3$
$b)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)\left( 2-4x \right)$
$=2{{x}^{2}}-6x+2-4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-4x=-4{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-10x+2$
$c)\left( {{x}^{2}}+3x-2 \right)\left( 3+x-2x \right)$
$=\left( {{x}^{2}}+3x-2 \right)\left( 3-x \right)=3{{x}^{2}}+9x-6-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x$
$=3{{x}^{2}}+9x-6-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x=-{{x}^{3}}+11x-6$
Bài tập 8: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) $A = x\left( {2x + 1} \right) – {x^2}\left( {x + 2} \right) + \left( {{x^3} – x + 5} \right)$
b) $B = x\left( {3{x^2} – x + 5} \right) – \left( {2{x^3} + 3x – 16} \right) – x\left( {{x^2} – x + 2} \right)$
Lời giải
Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh.
Trình bày lời giải
a) Biến đổi biểu thức A, ta có :
$A=x\left( 2x+1 \right)-{{x}^{2}}\left( x+2 \right)+\left( {{x}^{3}}-x+5 \right)$
$A=2{{x}^{2}}+x-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-x+5$
$A=6$
Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x
b) Biến đổi biểu thức B, ta có :
$B=x\left( 3{{x}^{2}}-x+5 \right)-\left( 2{{x}^{3}}+3x-16 \right)-x\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)$
$B=3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+5x-2{{x}^{3}}-3x+16-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x$
$B=3{{x}^{3}}-3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+5x-5x+16$
$B=16$
Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.
Bài tập 9: Tìm các hệ số a, b, c biết:
$a)2{{x}^{2}}\left( a{{x}^{2}}+2bx+4c \right)=6{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}$ đúng với mọi x;
$b)\left( ax+b \right)\left( {{x}^{2}}-cx+2 \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2$ đúng với mọi x.
Lời giải
$a)2{{x}^{2}}\left( a{{x}^{2}}+2bx+4c \right)=6{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2a{{x}^{4}}+4b{{x}^{3}}+8c{{x}^{2}}=6{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}\left( 1 \right)$
(1) đúng với mọi x
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 6\\ 4b = – 20\\ 8c = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = – 5\\ c = 1 \end{array} \right.$
$b)\left( ax+b \right)\left( {{x}^{2}}-cx+2 \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-ac{{x}^{2}}-bcx+2b+2ax={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2$
$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+\left( b-ac \right){{x}^{2}}+\left( 2a-bc \right)x+2b={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2\left( 2 \right)$
(2) đúng với mọi x
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ 2b = – 2\\ b – ac = 1\\ 2a – bc = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = – 1\\ – 1 – 1.c = 1\\ 2 – \left( { – 1} \right)c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = – 1\\ c = – 2 \end{array} \right.$
Bài tập 10: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$ và $a+b+c=1$
Chứng minh rằng : $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=0$
Lời giải
Ta có $\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\left( c-1 \right)=\left( a-1 \right)\left( bc-b-c+1 \right)$
$=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1$
$=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1$
$=abc-\left( ab+bc+ca \right)+\left( a+b+c \right)-1$
$=abc-abc+1-1=0$
Bài tập 11: Đặt $2x=a+b+c$. Chứng minh rằng:
$\left( x-a \right)\left( x-b \right)+\left( x-b \right)\left( x-c \right)+\left( x-c \right)\left( x-a \right)=ab+bc+ca-{{x}^{2}}$
Lời giải
Xét vế trái:
$\left( x-a \right)\left( x-b \right)+\left( x-b \right)\left( x-c \right)+\left( x-c \right)\left( x-a \right)$
$={{x}^{2}}-ax-bx+ab+{{x}^{2}}-bx-cx+bc+{{x}^{2}}-ax-cx+ca$
$=ab+bc+ca+3{{x}^{2}}-2x\left( a+b+c \right)$
$=ab+bc+ca+3{{x}^{2}}-2x.2x$
$=ab+bc+ca-{{x}^{2}}$
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
Bài tập 12: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a) $C = \left( {5x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {x – 3} \right)\left( {5x + 1} \right) – 17\left( {x + 3} \right)$
b) $D = \left( {6x – 5} \right)\left( {x + 8} \right) – \left( {3x – 1} \right)\left( {2x + 3} \right) – 9\left( {4x – 3} \right)$
Lời giải
a) Ta có :
$C=5{{x}^{2}}+5x-2x-2-5{{x}^{2}}-x+15x+3-17x-51$
$\Rightarrow C=-50$
Vậy biểu thức $C=-50$ không phụ thuộc vào x.
$b)D=6{{x}^{2}}+48x-5x-40-6{{x}^{2}}-9x+2x+3-36x+27$
$\Rightarrow D=-13$
Vậy giá trị biểu thức $D=-13$ không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài tập 13: Tính giá trị biểu thức:
a) $A = {x^6} – 2021{x^5} + 2021{x^4} – 2021{x^3} + 2021{x^2} – 2021x + 2021$ tại $x=2020$
b) $B = {x^{10}} + 20{x^9} + 20{x^8} + … + 20{x^2} + 20x + 20$ với $x=-19$
Lời giải
a) Với $x=2020$ nên ta thay $2021=x+1$ vào biểu thức , ta có :
$A={{x}^{6}}-\left( x+1 \right){{x}^{5}}+\left( x+1 \right){{x}^{4}}-\left( x+1 \right){{x}^{3}}+\left( x+1 \right){{x}^{2}}-\left( x+1 \right)x+x+1$
$={{x}^{6}}-{{x}^{6}}-{{x}^{5}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-x+x+1=1$
b) Với $x=-19$ nên ta thay $20=-x+1$ vào biểu thức, ta có :
$B={{x}^{10}}+\left( -x+1 \right){{x}^{9}}+\left( -x+1 \right){{x}^{8}}+…+\left( -x+1 \right){{x}^{2}}+\left( -x+1 \right)x+\left( -x+1 \right)$
$={{x}^{10}}-{{x}^{10}}+{{x}^{9}}-{{x}^{9}}+{{x}^{8}}-{{x}^{8}}+…+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+x-x+1$
$=1$
Phép nhân các đa thức không chỉ là kỹ năng cơ bản mà còn là chìa khóa để chinh phục các bài toán đại số phức tạp. Việc nắm vững cách thực hiện phép nhân đa thức giúp bạn tự tin giải quyết từ bài tập đơn giản đến những vấn đề nâng cao trong chương trình học. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ phương pháp nhân đa thức, cách áp dụng thực tế và mẹo học nhanh. Hãy luyện tập thường xuyên với bài tập về phép nhân các đa thức để rèn luyện tư duy logic và kỹ năng tính toán. Chúc bạn học tốt và sớm thành thạo chủ đề phép nhân các đa thức trong toán học này!