Xác định dấu hiệu chia hết là bí kíp giúp bạn chinh phục thế giới số học, nơi chỉ cần vài giây để nhận ra một số có chia hết hay không. Bạn đã sẵn sàng khám phá cách xác định dấu hiệu chia hết mà không cần tính toán phức tạp chưa? Đây là kỹ năng nền tảng, từ lớp học đến các bài kiểm tra. Bài viết này sẽ mang đến lý thuyết dễ hiểu, mẹo thực hành, và bài tập xác định dấu của hiệu chia hết từ khó đến dễ.
Bài tập 1: Cho số $a=\overline{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}…{{a}_{1}}{{a}_{0}}\,}\,\,(1\le {{a}_{n}}\le 9;\,\text{ }0\le {{a}_{i}}\le 9;\text{ }i=0;1;…;n-1)$
Hãy xác định dấu hiệu chia hết:
a) Cho 3.
b) Cho 4.
Lời giải
Ta có $a=\overline{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}…{{a}_{1}}{{a}_{0}}}={{a}_{n}}{{.10}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{10}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}.10+{{a}_{0}}$
a) Ta có $10\equiv 1\,(\bmod \,3)$ do đó ${{a}_{i}}{{10}^{i}}\equiv {{a}_{i}}(\bmod \,3),i=1;2;3;…;n$
Do đó ${{a}_{n}}{{10}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{10}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}10+{{a}_{o}}\equiv ({{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+…+{{a}_{1}}+{{a}_{o}})\,\,(\bmod \,3)$
Vậy$a\vdots 3\Leftrightarrow {{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+..+{{a}_{1}}+{{a}_{o}}\equiv 0\,(\bmod \,3)$
$\Leftrightarrow {{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+..+{{a}_{1}}+{{a}_{o}}\vdots 3$
b) Ta có ${{10}^{2}}=100\equiv 0(\bmod \,4)\Rightarrow {{a}_{i}}{{10}^{i}}\equiv 0(\bmod \,4),i=2;3;…;n$
$\Rightarrow {{a}_{n}}{{10}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{10}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}10+{{a}_{o}}\equiv ({{a}_{1}}10+{{a}_{o}})(mod\,4)$
Vậy $a\vdots 4\Leftrightarrow {{a}_{1}}10+{{a}_{0}}\equiv 0(\bmod \,4)\Leftrightarrow \overline{{{a}_{1}}{{a}_{o}}}\vdots 4$
Bài tập 2. Cho số \[a=\overline{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}…{{a}_{i}}{{a}_{o}}}\,(1\le {{a}_{n}}\le 9;\text{ }0\le {{a}_{i}}\le 9;\text{ }i=0;1;…;n-1)\]
Hãy xác định dấu hiệu chia hết:
a) Cho 9.
b) Cho 25.
c) Cho 11.
d) Cho 8.
Lời giải
Ta có : $a=\overline{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}…{{a}_{1}}{{a}_{o}}}={{a}_{n}}{{.10}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{10}^{n-1}}+…+{{a}_{1}}{{10}^{{}}}+{{a}_{o}}$
a) Ta có $10\equiv 1(\bmod \,9)$ do đó ${{a}_{i}}{{10}^{i}}\equiv {{a}_{i}}(\bmod \,9),i=1;2;3;…;n$
do đó $a\equiv \left( {{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+…+{{a}_{1}}+{{a}_{o}} \right)\,(\bmod \,9).$ Vậy
$a\vdots 9\Leftrightarrow {{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+…+{{a}_{1}}+{{a}_{o}}\equiv 0(\bmod \,9)\Leftrightarrow {{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+…+{{a}_{1}}+{{a}_{o}}\vdots 9$
b) Ta có ${{10}^{2}}=100\equiv 0(\bmod 25)\Rightarrow {{a}_{i}}{{10}^{i}}\equiv 0(\bmod \,25),i=2;3;…;n$
$\Rightarrow a\equiv ({{a}_{1}}10+{{a}_{o}})\,(\bmod \,25)$
Vậy $a\vdots 25\Leftrightarrow {{a}_{1}}10+{{a}_{o}}\equiv 0(\bmod \,25)\Leftrightarrow \overline{{{a}_{1}}{{a}_{o}}}\vdots 25$
c) Do $10\equiv -1(\bmod \,11)\Rightarrow {{a}_{i}}{{.10}^{i}}\equiv {{a}_{i}}{{(-1)}^{i}}\,(\bmod \,11)$
$a\equiv ({{a}_{o}}+{{a}_{2}}+{{a}_{4}}+…)-({{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+…)\,(\bmod \,11)$
Do đó $a\vdots 11\Leftrightarrow ({{a}_{o}}+{{a}_{2}}+{{a}_{4}}+…)-({{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+…)\equiv 0(\bmod \,11)$
Tức là hiệu của tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn bằng 0.
d) Ta có ${{10}^{3}}=1000\equiv 0(\bmod \,8)\to {{a}_{i}}{{10}^{i}}\equiv 0(\bmod \,8),i=3;4;…;n$
$\Rightarrow a\equiv ({{a}_{2}}{{10}^{2}}+{{a}_{1}}10+{{a}_{o}})\,(\bmod \,8)$
Vậy $a\vdots 8\Leftrightarrow {{a}_{2}}{{10}^{2}}+{{a}_{1}}10+{{a}_{o}}\equiv 0(\bmod \,8)\Leftrightarrow \overline{{{a}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{o}}}\vdots 8$