Chứng minh sự chia hết là một kỹ năng thú vị trong toán học, nơi bạn khám phá mối liên hệ bí ẩn giữa các con số. Bạn có bao giờ tự hỏi làm thế nào để chứng minh một số chia hết cho số khác mà không cần phép chia dài dòng? Từ lý thuyết cơ bản đến bài tập thực tế, chứng minh sự chia hết mở ra cánh cửa tư duy logic sắc bén. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách chứng minh sự chia hết, kèm ví dụ từ dễ đến khó, giúp bạn nắm vững chủ đề này!
1. Phương pháp chứng minh sự chia hết
Khi số dư trong phép chia a cho m bằng 0 thì $a\vdots m$.
Như vậy để chứng tỏ $a\vdots m$ ta chứng minh $a\equiv 0\,(\bmod \,m).$
2. Bài tập
Bài tập 1. Chứng minh rằng ${{12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}\vdots 133\,(n\in N)$
Lời giải
Cách 1: Ta có ${{12}^{2}}=144\equiv 11\,(\bmod \,133);\,\,\,{{11}^{2}}=121\equiv -12\,(\bmod \,\,133)$
Do đó ${{12}^{2n+1}}=12.{{({{12}^{2}})}^{n}}\equiv {{12.11}^{n}}\,(\bmod \,133)$
${{11}^{n+2}}={{11}^{2}}{{.11}^{n}}\equiv -{{12.11}^{n}}(\bmod \,133)$
Do đó ${{12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}\equiv {{12.11}^{n}}-{{12.11}^{n}}\equiv 0\,(\bmod \,133)$
Vậy với $n\in N$ thì ${{12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}\vdots 133$
Cách 2: Ta có ${{12}^{2}}=144\equiv 11\,(\bmod \,133)\Rightarrow {{12}^{2n}}\equiv {{11}^{n}}\,(\bmod \,133)\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Mà $12\equiv -{{11}^{2}}\,(\bmod \,133)\,\,\,\,\,(2)$ Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có:
${{12}^{2n}}.12\equiv {{11}^{n}}.(-{{11}^{2}})\,(\bmod \,\,133)\Rightarrow {{12}^{2n+1}}\equiv -{{11}^{n+2}}\,\,(\bmod \,133)$
${{12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}\equiv 0(\bmod \,133)$ hay ${{12}^{2n+1}}+{{11}^{n+2}}\vdots 133$
Bài tập 2. Chứng minh rằng ${{5}^{2n-1}}{{2}^{n+1}}+{{2}^{2n-1}}{{3}^{n+1}}\vdots 38\,\,(n\in {{N}^{*}})$
Lời giải
Đặt $A={{5}^{2n-1}}{{2}^{n+1}}+{{2}^{2n-1}}{{3}^{n+1}}.$ Ta có $A\vdots 2,\forall n\in {{N}^{*}};$
Ta có $A={{2}^{n}}({{5}^{2n-1}}2+{{2}^{n-1}}{{3}^{n+1}})={{2}^{n}}({{25}^{n-1}}10+{{6}^{n-1}}9)$
Do $25\equiv 6(\bmod \,19)\Rightarrow A\equiv {{2}^{n}}({{6}^{n-1}}10+{{6}^{n-1}}9)\equiv {{2}^{n}}{{6}^{n-1}}19\equiv 0(\bmod \,19)$
Hay $A\vdots 19.$ Mà $(2;9)=1\Rightarrow A\vdots 19.2\Rightarrow A\vdots 38$
Bài tập 3. Chứng minh:
a) ${{41}^{2015}}-6\vdots 7;$
b) ${{2}^{4n+1}}-2\vdots 15\,\,(n\in N).$
c) ${{3}^{76}}-{{2}^{76}}\vdots 13.$
d) ${{20}^{15}}-1\vdots 341.$
Lời giải
Để chứng tỏ $a\vdots m$ ta chứng minh $a\equiv 0(\bmod \,m)$
a) $41=42-1\equiv -1(\bmod \,7).$ Do đó ${{41}^{2015}}\equiv {{(-1)}^{2015}}\equiv -1(\bmod \,7)$
hay ${{41}^{2015}}\equiv 6(\bmod \,7)\Rightarrow {{41}^{2015}}-6\equiv 0(\bmod \,7)$
b) Ta có ${{2}^{4}}=16\equiv 1(\bmod \,15)\Rightarrow {{2}^{4n}}\equiv 1(\bmod \,15)\Rightarrow {{2}^{4n}}-1\equiv 0(\bmod \,15)$
Do đó ${{2}^{4n+1}}-2=2({{2}^{4n}}-1)\equiv 0(\bmod \,15)$
c) Ta có ${{3}^{3}}=27\equiv 1(\bmod \,13);\,\,{{3}^{76}}={{({{3}^{3}})}^{25}}.3\equiv 3(\bmod \,13)$
Ta có ${{2}^{4}}\equiv 3(\bmod \,13)\Rightarrow {{2}^{6}}\equiv 12\equiv -1(\bmod \,13)$
${{2}^{76}}={{({{2}^{6}})}^{12}}{{.2}^{4}}\equiv 3(\bmod \,13)$
Do đó ${{3}^{76}}-{{2}^{76}}\equiv 0(\bmod \,13)$ hay ${{3}^{76}}-{{2}^{76}}\vdots 13$
d) $341=11.31$
* Ta có ${{2}^{5}}=32\equiv -1(\bmod \,11);\,20=22-2\equiv -2(\bmod \,11)$
Do đó ${{20}^{15}}\equiv {{(-2)}^{15}}\equiv -{{({{2}^{5}})}^{3}}\equiv 1(\bmod \,11)$
* ${{20}^{15}}={{({{2}^{5}})}^{3}}.{{({{5}^{3}})}^{5}}\equiv 1(\bmod \,31)$ do ${{2}^{5}}\equiv 1(\bmod \,31)$ và ${{5}^{3}}\equiv 1(mod\,31)$
Do đó ${{20}^{15}}\equiv 1(\bmod \,11.31)$ hay ${{20}^{15}}\equiv 1(\bmod \,341)\Rightarrow {{20}^{15}}-1\vdots 341$
Bài tập 4. Chứng minh ${{4}^{2018}}-7\vdots 9$
Lời giải
Ta có ${{4}^{3}}=64\equiv 1\,(\bmod \,9)\Rightarrow {{4}^{2016}}={{({{4}^{3}})}^{672}}\equiv 1\,(\bmod \,9)$
Mặt khác ${{4}^{2}}=16\equiv 7(\bmod \,9)\Rightarrow {{4}^{2018}}={{4}^{2016}}{{.4}^{2}}\equiv 1.7\,(\bmod \,9)$
Vậy ${{4}^{2018}}-7\equiv 0\,(\bmod \,9)$ hay ${{4}^{2018}}-7\vdots 9$
Bài tập 5.
a) Chứng minh ${{5555}^{2222}}+{{2222}^{5555}}+{{15554}^{1111}}\vdots 7$
b) Cho $M={{220}^{{{119}^{69}}}}+{{119}^{{{69}^{220}}}}+{{69}^{{{220}^{119}}}}+{{(220+119+69)}^{102}}$
Chứng minh $M\vdots 102.$
Lời giải
a) Ta có $5555=793.7+4\equiv 4(\bmod \,7);\,\,\,2222=318.7-4\equiv -4(\bmod \,7)$
$\Rightarrow {{5555}^{2222}}+{{2222}^{5555}}\equiv {{4}^{2222}}+{{(-4)}^{5555}}\equiv -{{4}^{2222}}({{4}^{3333}}-1)(mod\,7)$
Do ${{4}^{3333}}-1=\left[ {{\left( {{4}^{3}} \right)}^{1111}}-1 \right];\,\,\,{{4}^{3}}=64\equiv 1(\bmod \,7)$ nên ${{({{4}^{3}})}^{1111}}\equiv 1(\bmod \,7)$
Hay ${{4}^{3333}}-1\equiv 0(\bmod \,7).$ Do đó ${{5555}^{2222}}+{{2222}^{5555}}\equiv 0(mod\,7)$
và ${{15554}^{1111}}={{(2.7777)}^{1111}}={{2}^{1111}}{{.7777}^{1111}}\equiv 0(\bmod 7)\Rightarrow $ đpcm
b) Ta có $102=2.3.17.$ Ta có ${{(220+119+69)}^{102}}\equiv 0(\bmod \,102)$
* $220\equiv 0(\bmod \,2);\,\,119\equiv -1(\bmod \,2);\,\,69\equiv 1(\bmod \,2)\Rightarrow M\equiv 0(\bmod \,2)$
* $220\equiv 1(\bmod \,3);\,\,119\equiv -1(\bmod \,3);\,\,69\equiv 0(\bmod \,3)\Rightarrow M\equiv 0(\bmod \,3)$
* $220\equiv -1(\bmod \,17);\,\,119\equiv 0(\bmod \,17);\,\,69\equiv 1(\bmod \,17)\Rightarrow M\equiv 0(\bmod \,17)$
(Để ý ${{119}^{69}}$ và ${{69}^{220}}$ là các số lẻ); $\Rightarrow M\equiv 0(\bmod \,2.3.17).$ Hay $M\vdots 102$
Bài tập 6. Chứng minh ${{1890}^{79}}+{{1945}^{2015}}+{{2017}^{2018}}\vdots 7.$
Lời giải
$1890\equiv 0(\bmod \,7);\,\,1945\equiv -1(\bmod \,7);\,\,\,2017\equiv 1(mod\,7)$
${{1890}^{79}}\equiv 0(\bmod \,7);\,\,\,{{1945}^{2015}}\equiv -1(\bmod \,7);\,\,\,{{2017}^{2018}}\equiv 1(\bmod \,\,7)\Rightarrow $ đpcm.